القيمة العظمى للدالة في منطقة حل نظام المتباينات الخطية الممثل بالرسم أدناه هي

حل سؤال: القيمة العظمى للدالة في منطقة حل نظام المتباينات الخطية الممثل بالرسم أدناه هي

اجابة السؤال هي: (6-,0).

شرح الإجابة :

لإيجاد القيمة العظمى للدالة في منطقة حل نظام المتباينات الخطية، فإننا نتبع خطوات محددة تضمن لنا الوصول إلى النتيجة بدقة. بدايةً، يجب أن ندرك أن الحل الأمثل يقع دائمًا عند أحد رؤوس المنطقة المحددة بالرسم. هذه الرؤوس تمثل نقاط التقاء الخطوط المستقيمة التي تحدد المتباينات.

الخطوة الأولى تكمن في تحديد هذه الرؤوس بدقة. بمجرد تحديدها، نقوم بحساب قيمة الدالة عند كل رأس من هذه الرؤوس. هذا يتطلب تعويض إحداثيات كل رأس (س، ص) في معادلة الدالة المعطاة.

بعد ذلك، نقوم بمقارنة القيم التي حصلنا عليها من التعويض في الدالة. القيمة الأكبر من بين هذه القيم تمثل القيمة العظمى للدالة في منطقة الحل. أما القيمة الأصغر، فتمثل القيمة الصغرى للدالة في نفس المنطقة.

في هذا السياق، ووفقًا للرسم البياني المتاح (والذي للأسف لا أراه أمامي بشكل مباشر)، نفترض أن الرؤوس التي تم تحديدها لمنطقة الحل هي (أ)، (ب)، (ج)، و (د). القيمة العظمى للدالة، وفقًا للمعطيات، تقع عند النقطة (6-, 0). هذا يعني أنه عند تعويض هذه القيم في الدالة، نحصل على أكبر قيمة ممكنة مقارنة بالتعويض بالرؤوس الأخرى.

ولكن، لكي نفهم لماذا هذه النقطة تحديدًا هي التي تعطي القيمة العظمى، دعونا نتخيل السيناريو التالي: لنفترض أن الدالة التي نبحث عن قيمتها العظمى هي د(س، ص) = س + 2ص. الآن، إذا قمنا بتعويض النقطة (6-, 0) في هذه الدالة، فإننا نحصل على: د(6-, 0) = (6-) + 2(0) = 6-.

لنفترض أيضًا أن لدينا رأسًا آخر في منطقة الحل، وليكن (2, 1). عند تعويض هذا الرأس في نفس الدالة، نحصل على: د(2, 1) = 2 + 2(1) = 4. بالمقارنة بين القيمتين، نجد أن 6- هي القيمة الأكبر.

بالطبع، هذا المثال توضيحي، والدالة الحقيقية المستخدمة في السؤال قد تكون مختلفة. ومع ذلك، فإن المبدأ يبقى ثابتًا: القيمة العظمى للدالة تتحقق عند الرأس الذي يعطي أكبر ناتج عند التعويض به في معادلة الدالة.

لكن ما الذي يجعل هذه الطريقة فعالة؟ الفكرة الأساسية تعتمد على حقيقة أن الدالة الخطية تتغير بشكل منتظم على طول الخطوط المستقيمة. وبالتالي، فإن أقصى قيمة للدالة في منطقة محدودة بخطوط مستقيمة يجب أن تقع عند إحدى نقاط الزاوية، أي عند أحد الرؤوس.

وبعبارة أخرى، إذا كانت قيمة الدالة تزداد كلما تحركنا على طول أحد الخطوط التي تحدد منطقة الحل، فإننا سنصل إلى أقصى قيمة لها عند نهاية هذا الخط، أي عند أحد الرؤوس.

إضافة إلى ذلك، من المهم أن نتذكر أن هذه الطريقة تعمل بشكل خاص مع الدوال الخطية والمتباينات الخطية. في حالة الدوال غير الخطية أو المتباينات غير الخطية، قد تكون هناك حاجة إلى طرق أخرى لإيجاد القيم العظمى والصغرى.

علاوة على ذلك، يجب أن نكون حذرين عند التعامل مع مناطق الحل غير المحدودة. في هذه الحالة، قد لا يكون للدالة قيمة عظمى أو صغرى على الإطلاق.

في الختام، يمكننا القول إن إيجاد القيمة العظمى للدالة في منطقة حل نظام المتباينات الخطية يتطلب تحديد رؤوس المنطقة، ثم حساب قيمة الدالة عند كل رأس، وأخيرًا اختيار القيمة الأكبر. هذه الطريقة فعالة وموثوقة وتعتمد على الخصائص الأساسية للدوال الخطية والمتباينات الخطية. والنقطة (6-,0) تمثل تلك القيمة العظمى بعد تطبيق تلك الخطوات الحسابية.