باستعمال التمثيل البياني للدالة ادناه يكون للدالة قيمة صغرى محلية عند x=-4 صواب أم خطأ

حل سؤال: باستعمال التمثيل البياني للدالة ادناه يكون للدالة قيمة صغرى محلية عند x=-4 صواب أم خطأ

• اجابة السؤال هي: صواب.

شرح الإجابة :

دعنا نتناول مفهوم القيمة الصغرى المحلية للدالة، وكيفية تحديدها بالاستعانة بالتمثيل البياني. الأمر أشبه بتحديد أدنى نقطة في وادٍ صغير داخل سلسلة جبال، لكننا هنا نتعامل مع منحنى يمثل دالة رياضية.

لتوضيح الأمر، تخيل أن لديك خريطة لمنطقة جبلية، وأنت تبحث عن أخفض نقطة في وادٍ معين، وليس بالضرورة أخفض نقطة في المنطقة بأكملها. القيمة الصغرى المحلية هي تلك النقطة المنخفضة في ذلك الوادي الصغير.

رياضيًا، القيمة الصغرى المحلية للدالة هي النقطة التي تكون فيها قيمة الدالة أقل من قيمها في النقاط المجاورة لها مباشرة. بمعنى آخر، لو تحركت قليلًا يمينًا أو يسارًا من هذه النقطة، سترتفع قيمة الدالة.

الآن، كيف نحدد هذه القيمة الصغرى المحلية من خلال التمثيل البياني؟ الأمر بسيط للغاية، نبحث عن نقطة في المنحنى تكون في الأسفل، بحيث أن المنحنى يرتفع على جانبيها. هذه النقطة تمثل قمة الوادي الذي تحدثنا عنه سابقًا.

في سياق السؤال المطروح، إذا كان التمثيل البياني للدالة يظهر أن هناك نقطة عند x=-4، وأن المنحنى ينخفض حتى يصل إلى هذه النقطة ثم يبدأ بالارتفاع بعدها، فإن هذا يعني أن للدالة قيمة صغرى محلية عند x=-4.

للتأكد بشكل قاطع، يجب أن نتخيل أنفسنا نسير على طول المنحنى البياني. عندما نصل إلى النقطة x=-4، يجب أن نلاحظ أننا في أدنى نقطة في ذلك الجزء من المنحنى. إذا كان هذا هو الحال، فإن إجابتنا “صواب” صحيحة تمامًا.

الأمر يشبه التحقق من أن كرة صغيرة ستتوقف عند قاع وعاء. إذا وضعت الكرة في أي مكان آخر على جوانب الوعاء، فإنها ستتدحرج إلى الأسفل حتى تستقر في القاع. قاع الوعاء هنا يمثل القيمة الصغرى المحلية.

لذا، باختصار، تحديد القيمة الصغرى المحلية من التمثيل البياني يتطلب البحث عن نقطة “منخفضة” في المنحنى، بحيث يكون المنحنى يرتفع على جانبيها. وهذا ما ينطبق تمامًا على الحالة المذكورة في السؤال، حيث أن للدالة قيمة صغرى محلية عند x=-4 بناءً على المعطيات.

علاوة على ذلك، يمكننا استخدام مفهوم المشتقة الأولى للدالة لتأكيد هذه النتيجة. عند القيمة الصغرى المحلية، تكون المشتقة الأولى للدالة تساوي صفرًا، وهذا يعني أن ميل المماس للمنحنى عند هذه النقطة أفقي. وقبل هذه النقطة، تكون المشتقة سالبة (المنحنى ينخفض)، وبعدها تكون المشتقة موجبة (المنحنى يرتفع).

إضافة إلى ذلك، المشتقة الثانية للدالة عند القيمة الصغرى المحلية تكون موجبة. هذا يشير إلى أن المنحنى مقعر إلى الأعلى عند هذه النقطة، مما يؤكد أنها تمثل نقطة دنيا.

لذا، بالنظر إلى التمثيل البياني، إذا لاحظنا أن المنحنى يصل إلى نقطة دنيا عند x=-4، وأن المنحنى مقعر إلى الأعلى عند هذه النقطة، فإن هذا يؤكد بشكل قاطع أن للدالة قيمة صغرى محلية عند هذه القيمة.

في النهاية، فهمنا لمفهوم القيمة الصغرى المحلية وكيفية تحديدها من التمثيل البياني يقودنا إلى تأكيد أن الإجابة “صواب” هي الإجابة الصحيحة والدقيقة.