السؤال: اكتب معادلة الحد النوني للمتتابعة الحسابية -2 ، 1 ، 4 ، 7 ، 10 ، 13 ، ……
- الإجابة: أن = ٣ن – ٥
شرح الإجابة:
إن فهمنا للأنماط العددية يفتح لنا آفاقاً واسعة في عالم الرياضيات، وهذه السلسلة من الأرقام التي أمامنا ليست مجرد تتابع عشوائي، بل هي مثال واضح على ما يُعرف بالمتتابعة الحسابية. السمة الجوهرية لمثل هذا النسق الرقمي تكمن في وجود مقدار زيادة ثابت ومستمر بين كل حد والحد الذي يليه مباشرة، وهو ما يُطلق عليه “أساس المتتابعة”.
ومن هذا المنطلق، فإن الخطوة الأولى للوصول إلى القاعدة العامة التي تحكم هذه المتتابعة هي استخراج هذا الأساس. يمكننا تحقيق ذلك ببساطة عبر طرح أي حد من الحد الذي يسبقه. على سبيل المثال، عند الانتقال من الحد الأول (-2) إلى الحد الثاني (1)، نجد أن الفارق هو 1 – (-2) = 3. وللتأكد، نكرر العملية بين الحدين الثاني والثالث: 4 – 1 = 3. إذن، يتضح جلياً أن مقدار الزيادة الثابت، أو الفرق المشترك، هو 3.
والآن، بعد أن حددنا هذا العنصر المحوري، ننتقل إلى توظيف الصيغة الرياضية القياسية لإيجاد الحد النوني (أن) في أي متتابعة حسابية، وهي: أن = أ1 + (ن – 1) × د. هذه العلاقة تربط بين قيمة أي حد (أن) بقيمة الحد الأول في المتتابعة (أ1)، ورتبة الحد المطلوب (ن)، وأساس المتتابعة (د).
إقرأ أيضا:يعد كل من الحرارة، والضوء، والرائحة أدلة على التغير الفيزيائي صواب خطأوبناءً على ذلك، نبدأ بتعويض المعطيات التي استخلصناها في هذه الصيغة. لدينا الحد الأول (أ1) وقيمته -2، ولدينا أساس المتتابعة (د) وقيمته 3. عند إدخال هذه القيم، تصبح المعادلة على النحو التالي: أن = -2 + (ن – 1) × 3.
تبقى لدينا الخطوة الأخيرة، وهي تبسيط هذه الصيغة للوصول إلى شكلها النهائي والأكثر إيجازاً. نقوم بتوزيع الرقم 3 على القوس (ن – 1)، مما ينتج عنه: أن = -2 + 3ن – 3. ومن ثم، بتجميع الأعداد الثابتة معاً (-2 و -3)، نصل إلى المعادلة النهائية التي تحكم هذا النسق العددي بشكل كامل: أن = 3ن – 5. هذه هي القاعدة التي تسمح لنا بمعرفة قيمة أي حد في المتتابعة بمجرد معرفة ترتيبه.
إقرأ أيضا:من نتائج حركة الأرض حول الشمس ما يلي